复合函数的单调性一般怎样判断在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。判断复合函数的单调性是分析其图像变化动向的重要技巧其中一个。判断复合函数的单调性通常需要结合内层函数和外层函数的单调性进行综合分析。
一、复合函数单调性的基本思路
复合函数的形式为$y=f(g(x))$，其中$f$是外层函数，$g$是内层函数。要判断$y=f(g(x))$的单调性，可以按照下面内容步骤：
1.确定定义域：找出复合函数的定义域，确保每个函数在其定义域内都有意义。
2.分别分析内外函数的单调性：分析$f(u)$和$g(x)$在各自定义域内的增减情况。
3.利用单调性法则：根据内外函数的单调性，判断复合函数的单调性。
二、复合函数单调性的判断法则
| 内层函数$g(x)$单调性 | 外层函数$f(u)$单调性 | 复合函数$f(g(x))$单调性 |
| 增 | 增 | 增 |
| 增 | 减 | 减 |
| 减 | 增 | 减 |
| 减 | 减 | 增 |
规律划重点：
-若内外函数同为增或同为减，则复合函数为增；
-若内外函数一增一减，则复合函数为减。
三、实际应用举例
例1：
设$f(u)=u^2$，$g(x)=x+1$，则$y=f(g(x))=(x+1)^2$。
-$g(x)=x+1$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数；
-$f(u)=u^2$在$(-\infty,0)$上是减函数，在$(0,+\infty)$上是增函数；
-因此，$y=(x+1)^2$在$(-\infty,-1)$上是减函数，在$(-1,+\infty)$上是增函数。
例2：
设$f(u)=\lnu$，$g(x)=x^2$，则$y=f(g(x))=\ln(x^2)$。
-$g(x)=x^2$在$(-\infty,0)$上是减函数，在$(0,+\infty)$上是增函数；
-$f(u)=\lnu$在$(0,+\infty)$上是增函数；
-因此$y=\ln(x^2)$在$(-\infty,0)$上是减函数，在$(0,+\infty)$上是增函数。
四、注意事项
1.注意定义域限制：复合函数的定义域可能比原函数更小，需特别关注。
2.分段讨论：当内层函数或外层函数存在区间变化时，应分段讨论单调性。
3.导数法辅助判断：若熟悉导数，可通过对复合函数求导来判断其单调性。
五、拓展资料
判断复合函数的单调性，关键在于领会内外函数的单调性关系，并结合单调性法则进行判断。通过表格形式可以清晰地看出不同情况下复合函数的单调性表现，有助于快速掌握这一聪明点。同时，结合实例进行练习，能够加深对复合函数单调性规律的领会。
